Semnale cu modulatie de amplitudine
Universitatea Tehnica "Gh. Asachi", Iasi, Facultatea de Electronica si Telecomunicatii
Laboratorul de Semnale, Circuite si Sisteme
Breviar teo retic
Scopul lucrarii:
Familiarizarea cu formele de unda ale unui semnal cu modulatie in am plitudine. Calcularea si reprezentarea spectrului semnalului MA.
Rezumat teoretic:
Modulatia īn amplitudine a unui purtator armonic este procesul de transferare a caracteristicilor semnalului modulator asupra amplitudinii semnalului purtator. Din punct de vedere matematic, cea mai simpla modulatie īn amplitudine este modulatia de produs.
Presupunem semnalul modulator de forma avand transformata Fourier iar semnalul purtator avand spectrul . Semnalul MA este definit de relatia , adica produsul celor doua semnale. Vom nota cu , spectrul semnalului MA.
Principial, realizarea semnalului consta īn utilizarea unui multiplicator ideal descris de pe intrarile caruia se aplica semnalul modulator si respectiv purtator:
Īn functie de domeniul de valori pentru care sunt construite, multiplicatoarele fizice sunt īn patru cadrane (ambele intrari pot avea orice polaritate), īn doua cadrane (numai una dintre intrari accepta semnale de orice polaritate) si īntr-un singur cadran (ambele intrari trebuie sa aiba o singura polaritate).
> restart:with(inttrans):assume(wm<wp):
> addtable(fourier,sm(t),Sm(omega),t,omega):
> addtable(fourier,sp(t),Sp(omega),t,omega):
> sMA:=(t)->k*sm(t)*sp(t):
> SMA:=(omega)->fourier(sMA(t),t,omega):
> sMA(t);
In acest caz, spectrul semnalului MA este de forma:
> SMA(omega);
In ce ce urmeaza, vom considera ca purtatoarea este semnal armonic:
> sp:=(t)->Ap*cos(wp*t);
avand spectrul:
> SMA(omega);
Mod de lucru
In afara de functiile incluse in libraria standard Maple, in aceasta lucrare vor fi utilizate cateva functii din libraria aditionala SCSlib.
Pentru calcularea transformatei Fourier a unor semnale:
Pentru trunchierea unor serii:
Pentru reprezentarea spectrelor unor semnale:
> restart:
> libname:="c:/Maple/SCSlib",libname:
> F:=FOURIER:
> assume(wm<wp):
> Sm:=(omega)->collect(F(sm(t),t,omega),m):
> Sp:=(omega)->F(sp(t),t,omega):
> sMA:=(t)->k*sm(t)*sp(t):
> SMA:=(omega)->collect(F(sMA(t),t,omega),m):
Exemple
Peste tot in cele ce urmeaza vom considera ca semnalul purtator este armonic:
> sp:=(t)->Ap*cos(wp*t);
Semnal modulator armonic
Vom presupune in considratiile ce urmeaza ca semnalul modulator este armonic pe frecventa , avand si o componenta continua :
> sm:=(t)->A0+Am*cos(wm*t+phi);
Raportul dintre amplitudinea componentei altenative si componenta continua ale semnalului modulator poarta numele de indice de modulatie in amplitudine si noteaza cu . Putem scrie asadar ca:
> A0:=Am/m;
Cu aceste notatii, semnalul modulator este:
> sm(t);
, iar spectrul sau este de forma:
> Sm(omega);
Semnalul MA este de forma:
> sMA(t);
, iar spectrul sau este de forma:
> SMA(omega);
Figura Lissajoux care se obtine pe ecranul osciloscopului aplicand pe xOsc (CHANNEL1) semnalul modulator si yOsc (CHANNEL2) semnalul MA este de forma unei armonici incadrate de un trapez cu marimea bazei mici si marimea bazei bazei mari , date de relatiile:
> b:=2*Amin;B:=2*Amax;
unde si sunt valorile minima si maxima ale semnalului modulator date de relatiile:
> Amin:=A0-Am;Amax:=A0+Am;
Inlocuind in expresiile lui si , se obtine urmatoarea expresie pentru raportul :
> simplify(b/B);
Vom particulariza in cele ce urmeaza amplitudinea si pulsatia semnalelor modulator si purtator si vom discuta influenta indicelui de modulatie asupra semnalului MA:
In functie de valoarea indicelui de modulatie exista mai multe situatii:
Cazul m<1 (submodulatie)
In acest caz componenta continua a semnalului modulator este mai mare decat componenta alternativa a semnalului ( ). Reprezentarile grafice s-au obtinut pentru m = 0.5 dar concluziile sunt valabile pentru orice valoare :
> numvalues:={k=1,Ap=1,wp=10,Am=1,wm=1,phi=Pi/4,m=0.5}:
Forma de unda a semnalului MA este cuprinsa intre o anvelopa superioara data de si o anvelopa inferioara data de .
> plot(eval([sm(t),-sm(t),sMA(t)],numvalues),t=-2*Pi..2*Pi,numpoints=400,color=[red,gray,black],linestyle=[1,1,1],labels=["t",""],title="Forme de unda pentru m<1: sm(t) (rosu),-sm(t) (gri), sMA(t) (negru)");
Spectrele semnalului MA se obtine printr-o translare cu si a spectrului semnalului modulator.
> PLOT3D(rpa(eval(SMA(omega),numvalues),omega,tipgrafic=D3,interval=-12..12,culoare=[0,0,0]),rpa(eval(Sm(omega),numvalues),omega,tipgrafic=D3,interval=-12..12,culoare=[1,0,0]),AXESSTYLE(NORMAL),AXESLABELS("omega","Re","Im"),TITLE("Spectre pentru m<1: Sm(omega) (rosu), SMA(omega) (negru)"));
> plot(eval([[sm(t),sMA(t),t=-Pi..Pi],[sm(t),sm(t),t=-Pi..Pi],[sm(t),-sm(t),t=-Pi..Pi]],numvalues),numpoints=100,color=[black,red,gray],linestyle=[1,1,1],axes=box,title="Diagrama de modulatie pentru m<1");
Cazul m=1 (modulatie 100%)
> numvalues:={k=1,Ap=1,wp=10,Am=1,wm=1,phi=Pi/4,m=1}:
In acest caz forma de unda si spectrul sunt ca in figura de mai jos pentru un defazaj intre semnale .
> plot(eval([sm(t),-sm(t),sMA(t)],numvalues),t=-2*Pi..2*Pi,numpoints=400,color=[red,gray,black],linestyle=[1,1,1],labels=["t",""],title="Forme de unda pentru m=1: sm(t) (rosu),-sm(t) (gri), sMA(t) (negru)");
Spectrele semnalului modulator si al semnalului MA sunt date in figura de mai jos:
> PLOT3D(rpa(eval(SMA(omega),numvalues),omega,tipgrafic=D3,interval=-12..12,culoare=[0,0,0]),rpa(eval(Sm(omega),numvalues),omega,tipgrafic=D3,interval=-12..12,culoare=[1,0,0]),AXESSTYLE(NORMAL),AXESLABELS("omega","Re","Im"),TITLE("Spectre pentru m=1: Sm(omega) (rosu), SMA(omega) (negru)"));
> plot(eval([[sm(t),sMA(t),t=-Pi..Pi],[sm(t),sm(t),t=-Pi..Pi],[sm(t),-sm(t),t=-Pi..Pi]],numvalues),numpoints=100,color=[black,red,gray],linestyle=[1,1,1],axes=box,title="Diagrama de modulatie pentru m=1");
Cazul m>1 (supramodulatie)
> numvalues:={k=1,Ap=1,wp=10,Am=1,wm=1,phi=Pi/4,m=2}:
In acest caz forma de unda si spectrul sunt ca in figura de mai jos pentru un defazaj intre semnale .
> plot(eval([sm(t),-sm(t),sMA(t)],numvalues),t=-2*Pi..2*Pi,numpoints=400,color=[red,gray,black],linestyle=[1,1,1],labels=["t",""],title="Forme de unda pentru m>1: sm(t) (rosu),-sm(t) (gri), sMA(t) (negru)");
Spectrele semnalului modulator si al semnalului MA sunt date in figura de mai jos:
> PLOT3D(rpa(eval(SMA(omega),numvalues),omega,tipgrafic=D3,interval=-12..12,culoare=[0,0,0]),rpa(eval(Sm(omega),numvalues),omega,tipgrafic=D3,interval=-12..12,culoare=[1,0,0]),AXESSTYLE(NORMAL),AXESLABELS("omega","Re","Im"),TITLE("Spectre pentru m>1: Sm(omega) (rosu), SMA(omega) (negru)"));
> plot(eval([[sm(t),sMA(t),t=-Pi..Pi],[sm(t),sm(t),t=-Pi..Pi],[sm(t),-sm(t),t=-Pi..Pi]],numvalues),numpoints=100,color=[black,red,gray],linestyle=[1,1,1],axes=box,title="Diagrama de modulatie pentru m>1");
Cazul IV. (MAPS)
In acest caz componenta continua a semnalului este nula (m=infinity):
> numvalues:={k=1,Ap=1,wp=10,Am=1,wm=1,phi=Pi/4,m=infinity}:
In acest caz forma de unda a semnalului MA este ca in figura de mai jos:
> plot(eval([sm(t),-sm(t),sMA(t)],numvalues),t=-2*Pi..2*Pi,numpoints=400,color=[red,gray,black],linestyle=[1,1,1],labels=["t",""],title="Forme de unda pentru m=infinity: sm(t) (rosu),-sm(t) (gri), sMA(t) (negru)");
Spectrele semnalului modulator si al semnalului MA sunt date in figura de mai jos:
> PLOT3D(rpa(eval(SMA(omega),numvalues),omega,tipgrafic=D3,interval=-12..12,culoare=[0,0,0]),rpa(eval(Sm(omega),numvalues),omega,tipgrafic=D3,interval=-12..12,culoare=[1,0,0]),AXESSTYLE(NORMAL),AXESLABELS("omega","Re","Im"),TITLE("Spectre pentru m=infinity: Sm(omega) (rosu), SMA(omega) (negru)"));
Semnal modulator dreptunghiular
In acest semnalul modulator este de forma:
> sm:=(t)->Am*(Heaviside(t)-Heaviside(t-tau));
Spectrul semnalului modulator este:
> Sm(omega):simplify(%);
Semnalul MA este de forma:
> sMA(t);
Spectrul semnalului MA este de forma:
> SMA(omega);
Pentru obtinerea reprezentarilor grafice dam valori numerice constantelor care intervin in expresiile semnalelor:
> numvalues:={k=1,Ap=1,wp=10,Am=1,tau=2*Pi}:
> plot(eval([sm(t),-sm(t),sMA(t)],numvalues),t=-3*Pi..3*Pi,numpoints=100,color=[red,red,black],linestyle=[1,2,1],labels=["t","sMA(t)"],title="Forme de unda: modulatoare(rosu) si semnal MA(negru)");
> PLOT3D(rpa(eval(SMA(omega),numvalues),omega,tipgrafic=D3,interval=-15..15,culoare=[0,0,0]),rpa(eval(Sm(omega),numvalues),omega,tipgrafic=D3,interval=-12..12,culoare=[1,0,0]),AXESSTYLE(NORMAL),AXESLABELS("omega","Re","Im"),TITLE("Spectre (m infinit): modulatoare(rosu) si semnalul MA(negru)"));
Semnal modulator periodic dreptunghiular
In acest semnalul modulator este de forma:
> smg:=(t)->Am*(Heaviside(t)-Heaviside(t-tau));
> sm:=(t)->sum(smg(t-n*2*Pi/wm),`n`=-infinity..infinity);
Spectrul semnalului modulator este:
> Sm(omega);
Semnalul MA este in acest caz de forma:
> sMA(t);
Spectrul semnalului modulator este de forma:
> SMA(omega);
Pentru obtinerea reprezentarilor grafice dam valori constantelor care intervin in expresiile semanlelor:
> numvalues:={k=1,Ap=1,wp=10,Am=1,tau=Pi,wm=1}:
> plot(eval([eval(ts(sm(t),n=-5..5),numvalues),ts(-sm(t),n=-5..5),ts(sMA(t),n=-5..5)],numvalues), t=-5*Pi..5*Pi, numpoints=200, color=[red,red,black], linestyle=[1,2,1], labels=["t","sMA(t)"], title="Forme de unda: modulatoare(rosu) si semnal MA(negru)");
Semnalul MA este de forma:
> PLOT3D(rpa(eval(ts(SMA(omega),n=-5..5),numvalues),omega,tipgrafic=D3,interval=-15..15,culoare=[0,0,0]),rpa(eval(ts(Sm(omega),n=-5..5),numvalues),omega,tipgrafic=D3,interval=-12..12,culoare=[1,0,0]),AXESSTYLE(NORMAL),AXESLABELS("omega","Re","Im"),TITLE("Spectre: modulatoare(rosu) si semnalul MA(negru)"));
>
Probleme
Sa se reprezinte forma de unda a unui semnal MA cu purtatoare armonica si semnal modulator de tipul:
Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic spectrul unui semnal MA cu purtatoare armonica si semnal modulator de tipul: